一、自然对数的定义与基本性质

自然对数 ln⁡x 定义为以 e（自然常数，e≈2.71828）为底的对数，其核心性质包括：

这些性质可将复杂计算简化为小质数（如2,3,5,7）的对数组合。例如：

二、泰勒级数展开法

1. 基本级数形式

由于 ln⁡x 在 x=0 处无定义，需改用 ln(1+x) 的泰勒展开（∣x∣<1)：

2. 计算实例

取10项：ln⁡3≈1.09861（精确值：1.09861）

3. 收敛加速技术

原级数收敛慢（如 ln⁡2 需1000项达 10^−6 精度）。常用加速方法：

Euler变换：对交错级数重排：

收敛速度显著提升。

变分加速法：引入参数 λ 优化级数，最小化敏感性。

三、数值积分法

1. 积分定义

由微积分基本定理：

2. 数值积分方法

高斯求积法：

在 [−1,1]上选取优化节点：

对 lnx，令 t=[2u−(a+b)]​/(b−a)，转换至标准区间。

3. 计算实例（ln⁡2）

四、连分数展开法

1. 基本形式

对 ln⁡(1+x)：

2. 计算 ln⁡2

令 x=1：

前3阶收敛：

a0=1a1=2/(2+1)=0.666a2=2/(2+(1/(3+4/5)))≈0.693

收敛速度快于泰勒级数。

五、方法对比与优化选择

方法计算 ln⁡2优点缺点泰勒级数需约 10^6项简单易实现收敛慢，大 x 需转换加速级数需约 20 项指数收敛公式复杂梯形积分需约 1000 区间稳定，易编程效率低高斯积分需 5-10 点高精度（O(h^2n)节点权重计算复杂连分数需 5-6 阶极快收敛推导繁琐

推荐场景：

高精度需求：高斯积分或连分数（如金融计算 ）。快速估算：泰勒级数加速（如物理建模 ）。教学演示：梯形积分（直观展示积分定义）。

六、常见对数值参考表

xxln⁡x（精确值）泰勒级数（10项）高斯积分（5点）20.6931470.6931460.69314731.0986121.0986011.09861251.6094381.6094201.60943871.9459101.9458991.945910

注：泰勒级数取 ln⁡(1+x) 在 x=1,2,4,6处展开，高斯积分区间 [1,x] 分割为5点。

七、总结

计算 ln⁡2,ln⁡3 等质数对数，需结合函数性质与数值技术：

泰勒级数通用但收敛慢，需加速技术（如Euler变换）。数值积分稳定性高，高斯求积适合高精度需求。连分数收敛最快，适合嵌入式系统等资源受限场景。

实际应用中（如热力学 或金融 ），建议根据精度与效率权衡选择方法。